最小生成树与 Kruskal 重构树
前言
改完错就开始卷算法了。
引入
首先，生成树的定义是很自然的。
很多时候我们会使用搜索算法遍历某一张无向图上的 $n$ 个点。那么为了遍历这些点我们会经过 $n-1$ 条边（若图连通）。而稍微有点图论直觉的人都会发现，$G=(V,E),|V|=n,|E|=n-1$ 这样的定义很容易让我们联想到树，那么生成树的定义就呼之欲出了。
用数学语言就是：若 $G'=(V,E'),G=(V,E),E'\subseteq E$，且 $G'$ 是一棵树。那么称 $G'$ 为 $G$ 的生成树（Spanning Tree）。
而显然，每个连通图必然有生成树，考虑有环就断掉，最后必然是无环连通图。
而最小生成树（MST，Minimum Spanning Tree）即图 $G$ 的所有生成树中边权和最小的。容易发现最小生成树不唯一。
求解
Prim 算法
Prim 的思路和求解最短路的 dijkstra 算法类似，把图分为两个集合 $S,T$，$S$ 最初为任意一个点 $u$，$T$ 最初为 $V\setminus \begin{Bmatrix}u\end{Bmatrix}$，然后每次从 $T$ 集合中取出距离最小的点加入 $S$ 集合，经过的这条边就是树边。
代码很简单，就不贴了。
正确性证明
考虑说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。
首先只有一个结点的时候，显然成立。
然后考虑归纳证明，如果某一步成立，当前边集为 $F$，属于 $T$ 这棵 MST，接下来要加入边 $e$。
如果 $e$ 属于 $T$，那么成立。
否则考虑 $T+e$ 中环上另一条可以加入当前边集的边 $f$。
首先，$f$ 的权值一定不小于 $e$ 的权值，否则就会选择 $f$ 而不是 $e$ 了。
然后，$f$ 的权值一定不大于 $e$ 的权值，否则 $T+e-f$ 就是一棵更小的生成树了。
因此，$e$ 和 $f$ 的权值相等，$T+e-f$ 也是一棵最小生成树，且包含了当前边集 $F$。
摘自 OI Wiki
直接暴力复杂度是 $O(n^2+m)$ 的，若使用优先队列复杂度是 $O((n+m)\log m)$ 的。如果使用斐波那契堆复杂度是 $O(n\log n+m)$ 的，但是代码会比较难写。
Kruskal 算法
与 Prim 不同，Kruskal 算法的核心思想在于加边而不是加点。具体来说，我们从小到大考虑每条边。若不会形成环就加入 MST，否则跳过。判定会不会形成环可以使用并查集维护，把每个连通块维护为一个集合即可。
代码也不贴了。
正确性证明
仍然考虑说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。
考虑使用归纳法，证明任何时候算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。
对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在，边集为空集）。
假设某时刻成立，当前边集为 $F$，令 $T$ 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 $e$。
如果 $e$ 属于 $T$，那么成立。
否则，$T+e$ 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 $F$ 的另一条边 $f$（一定只有一条）。
首先，$f$ 的权值一定不会比 $e$ 小，不然 $f$ 会在 $e$ 之前被选取。
然后，$f$ 的权值一定不会比 $e$ 大，不然 $T+e-f$ 就是一棵比 $T$ 还优的生成树了。
所以，$T+e-f$ 包含了 $F$，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。
摘自 OI Wiki
若排序的复杂度是 $O(m\log m)$，并查集使用路径压缩+按秩合并，复杂度为 $O(m\alpha(n))$，那么总复杂度就是 $O(m\log m)$，在相同的代码难度（优先队列写法）下复杂度优于 Prim。且由于常数问题在大部分图下使用斐波那契堆的 Prim 也不一定能跑过 Kruskal。
另外，上述两个算法也可以求解最大生成树问题，证明略。
瓶颈路
那么最小生成树有什么用呢？
考虑这样一个问题，某地区的路径规划为一张无向图，每条边有一个限制 $w$，仅有权限大于 $w$ 的车才能经过，问权限为 $h$ 的车能否从 $A$ 地到 $B$ 地。
容易发现，这个存在性只与 $AB$ 两地间限制最大值最小的路径有关。我们把这条路称为瓶颈路。
那么类似的，我们可以定义瓶颈生成树，即 $G$ 所有生成树中边权最大值最小的。
容易发现，瓶颈生成树上的简单路径是瓶颈路的充分不必要条件。证明略。
另外还有一个结论：最小生成树是瓶颈生成树的充分不必要条件。
证明
考虑使用反证法。
我们设最小生成树中的最大边权为 $w$，如果最小生成树不是瓶颈生成树的话，则瓶颈生成树的所有边权都小于 $w$，我们只需删去原最小生成树中的最长边，用瓶颈生成树中的一条边来连接删去边后形成的两棵树，得到的新生成树一定比原最小生成树的权值和还要小，这样就产生了矛盾。
很多时候，树上信息会比图上信息更好维护，那么就可以用最小生成树算法把一般图上问题转化为树上问题求解。
例题不太能找到。我现在只能想到一道校内 OJ 的题目。
Kruskal 重构树
但是有些时候，只转化为一棵生成树上的问题还是不好维护。怎么办呢？这时候我们就可以考虑 Kruskal 重构树算法了。
算法简述
Kruskal 重构树算法是基于 Kruskal 算法得到的。
具体来说，我们在每次合并集合的时候，新建一个结点表示当前合并的这条边。它的点权就是原来边的边权，左右儿子就是当前正在合并的两集合原来的根。
容易发现，这样构造出来的二叉树上，所有叶子结点均是原图上的点，其余结点代表最小生成树上的边。
那我们来分析一下这棵树 $T$ 有什么性质。
首先，它把边的信息转化为了点的信息。容易发现除去叶子结点，每个点的点权均大于等于其子树内所有点的点权（考虑构造过程），也就是说，从叶子结点到根的路径上的点权是单调不降的。
另外，容易发现原图 $G$ 中 $A,B$ 间瓶颈路上的最小值正是 $T$ 上 $\mathrm{lca}(A,B)$ 的点权。仍然考虑树的构造过程，这是显然的。
参考实现
struct Node{
i64 u,v,w;
}a[N<<1];
bool cmp(Node a,Node b){
return a.w<b.w;
}
i64 fa[N],rt[N];
i64 val[N<<1],ans[N<<1],son[N<<1][2];
void kruskal(){
sort(a+1,a+m+1,cmp);
forup(i,1,n){
fa[i]=rt[i]=i;
val[i]=inf;
ans[i]=dis[i];
son[i][0]=son[i][1]=0;
}
int cntn=n;
forup(i,1,m){
i64 u=a[i].u,v=a[i].v,w=a[i].w;
i64 fu=getfa(u),fv=getfa(v);
if(fu==fv) continue;
++cntn;
son[cntn][0]=rt[fu];son[cntn][1]=rt[fv];
val[cntn]=w;ans[cntn]=min(ans[son[cntn][0]],ans[son[cntn][1]]);
fa[fu]=fv;rt[fv]=cntn;
}
}
例题
P4768 [NOI2018] 归程
首先题意可以转化为每次求点 $v$ 只经过点权大于 $p$ 的边能到达的所有结点中，与结点 $1$ 间最短路最小是多少。
我们之前说过，Kruskal 是可以跑最大生成树的，且最大生成树也具有类似性质。
那么设这样构造的 Kruskal 重构树为 $T$。根据上面的结论，容易发现 $v$ 必然存在一个祖先 $f$（可能是它自己），$a_f>p,a_{father(f)}\le p$，那么 $f$ 子树内所有叶子结点就是从 $v$ 出发可达的结点，因为它们和 $v$ 的 $\mathrm{lca}$ 的点权显然均小于等于 $f$。
那么我们可以先跑一遍以 $1$ 为起点的单源最短路，然后对每个点维护子树内叶子结点最短路最小值，最后在线倍增找到这个 $f$ 即可。复杂度 $O(m\log m+q\log m)$。
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define forup(i,s,e) for(i64 i=(s);i<=(e);i++)
#define fordown(i,s,e) for(i64 i=(s);i>=(e);i--)
using namespace std;
using i64=long long;
#define gc getchar()
inline i64 read(){
i64 x=0,f=1;char c;
while(!isdigit(c=gc)) if(c=='-') f=-1;
while(isdigit(c)){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=gc;}
return x*f;
}
#undef gc
const i64 N=2e5+5,inf=1e18;
i64 t,n,m,q,tp,s,lans;
struct Node{
i64 u,v,w;
}a[N<<1];
struct edge{
i64 v,w;
};
vector<edge> e[N];
i64 fa[N],rt[N];
i64 getfa(i64 x){return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
struct node{
i64 u,dis;
bool operator <(const node &r)const{return dis>r.dis;}
};
priority_queue<node> qq;
i64 vis[N],dis[N];
i64 val[N<<1],ans[N<<1],son[N<<1][2];
i64 f[N<<1][21];
void dfs(int x){
if(x==0) return;
forup(i,1,20){
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
f[son[x][0]][0]=f[son[x][1]][0]=x;
dfs(son[x][0]);dfs(son[x][1]);
}
bool cmp(Node a,Node b){
return a.w>b.w;
}
void kruskal(){
sort(a+1,a+m+1,cmp);
forup(i,1,n){
fa[i]=rt[i]=i;
val[i]=inf;
ans[i]=dis[i];
son[i][0]=son[i][1]=0;
}
int cntn=n;
forup(i,1,m){
i64 u=a[i].u,v=a[i].v,w=a[i].w;
i64 fu=getfa(u),fv=getfa(v);
if(fu==fv) continue;
++cntn;
son[cntn][0]=rt[fu];son[cntn][1]=rt[fv];
val[cntn]=w;ans[cntn]=min(ans[son[cntn][0]],ans[son[cntn][1]]);
fa[fu]=fv;rt[fv]=cntn;
}
forup(i,0,cntn){
forup(j,0,20){
f[i][j]=0;
}
}
dfs(cntn);
}
void dijkstra(){
while(qq.size()) qq.pop();
forup(i,1,n){
dis[i]=inf;vis[i]=0;
}
dis[1]=0;qq.push(node{1,0});
while(qq.size()){
i64 u=qq.top().u;qq.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(auto i:e[u]){
i64 v=i.v,w=i.w;
if(dis[u]+w<dis[v]){
dis[v]=dis[u]+w;
qq.push(node{v,dis[v]});
}
}
}
}
signed main(){
t=read();
while(t--){
n=read();m=read();
forup(i,1,n){
e[i].clear();
}
forup(i,1,m){
i64 u=read(),v=read(),len=read(),w=read();
a[i].u=u;a[i].v=v;a[i].w=w;
e[u].push_back(edge{v,len});
e[v].push_back(edge{u,len});
}
dijkstra();
kruskal();
q=read();tp=read();s=read();lans=0;
forup(Case,1,q){
int x=read(),p=read();
x=(x+tp*lans-1)%n+1;
p=(p+tp*lans)%(s+1);
int l=x;
fordown(i,20,0){
if(f[l][i]&&val[f[l][i]]>p) l=f[l][i];
}
lans=ans[l];
printf("%lld\n",ans[l]);
}
}
}
容易发现上面的参考实现是从这里复制过去的。
基于点的 Kruskal 重构树
还有这么一类问题，就是只能经过点权小于/大于某值的点，然后要查询连通块信息。这个当然可以把 $(u,v)$ 的边权赋成 $\max(w_u,w_v)$ 然后直接跑 Kruskal 重构树。但其实还有一个更简洁的方法。
具体来说，先将点权从小到大排序，然后每加入一个点就将它所有指向的点已加入重构树的出边指向的连通块作为它的儿子。容易发现这样构造出来结构仍类似于 Kruskal 重构树，并且只有 $n$ 个点。暂未找到例题。
其余典型问题
黑白生成树
接下来讨论一类最小生成树的常见问题：黑白最小生成树。
这类问题的设问大概是每条边除了边权以外还有一个黑白颜色，问恰好有 $k$ 条白色边的最小生成树。这个的常见做法是 wqs 二分。
然后 wqs 二分可以参考我的这篇博客
最小生成树数量
这个比较考验对 kruskal 的理解。
就是 kruskal 排序后显然会是一段一段的边权相同。然后容易发现加了一段之后图的连通性是固定的，而每一段具体加边方式是不固定的，只需要加出来是一个生成森林即可。相当于每次取出一整段，然后随便连一个生成森林，再把每个连通块缩成一个点，进入下一段。而缩点的方式是唯一的，即每一段独立。可以对每一段用矩阵树定理求出生成森林数量，然后用乘法原理乘出来。